Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n≥2014？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）直接由题意列方程组求出数列的首项和公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）求出数列的前n项和，由S_n≥2014求得满足条件的n的值，则n的集合可求．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

S2-S4=S3-S2 a2+a3+a4=-18

，即

-a1q2-a1q2=a1q2 a1q(1+q+q2)=-18

，
解得

a1=3 q=-2

．
故an=3×(-2)n-1；
（Ⅱ）Sn=

3[1-(-2)n]

1-(-2)

=1-(-2)n．
令S_n≥2014，即1-（-2）ⁿ≥2014，也就是（-2）ⁿ≤-2013．
当n为偶数时，上式不成立；
当n为奇数时，由-2ⁿ≤-2013，得2ⁿ≥2013，
∴n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1，k∈N^*，k≥5}．

点评：本题考查了等比数列的前n项和与等比数列的通项公式，考查了数列不等式的解法，是中档题．