Question

17．已知关于x的不等式：|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．
（1）求整数m的值；
（2）已知a，b，c∈R，若4a⁴+4b⁴+4c⁴=m，求a²+b²+c²的最大值；
（3）函数f（x）=|2x-a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，且存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出x的范围，根据对应关系求出m的值即可；
（2）根据柯西不等式的性质求出a²+b²+c²的最大值即可；
（3）令φ（n）=f（n）+f（-n），求出φ（n）的分段函数的形式，求出φ（n）的最小值，求出m的范围即可．

解答 解：（1）由|2x-m|≤1，得$\frac{m-1}{2}≤x≤\frac{m+1}{2}$，
所以不等式的整数解为2，所以$\frac{m-1}{2}≤x≤\frac{m+1}{2}⇒3≤m≤5$，
又不等式仅有一个整数解2，所以m=4．
（2）由（1）得，显然4a⁴+4b⁴+4c⁴=4，即a⁴+b⁴+c⁴=1，
由柯西不等式可知：（a²+b²+c²）²≤（1²+1²+1²）[（a²）²+（b²）²+（c²）²]，
所以（a²+b²+c²）²≤3，即${a^2}+{b^2}+{c^2}≤\sqrt{3}$，
当且仅当${a^2}={b^2}={c^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$取等号，最大值为$\sqrt{3}$．
（3）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），
则$φ（n）=|{2n-1}|+|{2n+1}|+2=\left\{\begin{array}{l}2-4n，n≤-\frac{1}{2}\\ 4，-\frac{1}{2}＜n≤\frac{1}{2}\\ 2+4n，n＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
所以φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．