Question

求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx在区间[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：令t=sinx+cosx，可得sinxcosx=

t2-1

2

，代入已知函数，由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[0，1]，x∈[-

π

4

，

π

4

]，
平方可得t²=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=

t2-1

2

，
∴代入已知函数可得y=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
由二次函数可知当t=0时，y取最小值-

1

2

当t=1时，y取最大值1
∴原函数在区间[-

π

4

，

π

4

]上的值域为[-

1

2

，1]

点评：本题考查三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．