Question

已知2sin（

3π

2

+α）+sin（π-α）=0，
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）若α是第三象限角，（1）求cosα的值；（2）求sin（2α+

π

6

）-cos²α的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由诱导公式化简可得-2cosα+sinα=0，故可求得tanα=2；
（Ⅱ）（1）α是第三象限角，由tanα=

1-cos2α

cosα

=2即可求得cosα的值；（2）先求出sinα，化简所求后代入即可求值．

解答： （Ⅰ）2sin（

3π

2

+α）+sin（π-α）=0，
⇒2sin（2π+α-

π

2

）+sinα=0
⇒-2cosα+sinα=0
⇒tanα=2；
（Ⅱ）（1）tanα=2
⇒

1-cos2α

cosα

=2
⇒5cos²α=1
⇒cosα=-

5

5

或者

5

5

（α是第三象限角，故cosα为负值，舍去）
（2）由（1）可得sinα=-

1-cos2α

=-

2 5

5

sin（2α+

π

6

）-cos²α
=

3

2

sin2α+

1

2

cos2α-

1

2

-

1

2

cos2α
=

3

2

sin2α-

1

2

=

3

2

×2×(-

2 5

5

)×(-

5

5

)-

1

2

=

4 3 -5

10

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，属于基础题．