Question

13．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°
③sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°
④sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 先利用归纳推理得出一般结论，再利用三角恒等变换进行证明．

解答 解：（1）∵以下4个式子等于同一个常数，①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°，
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°，
③sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°，
④sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°，
而由④可得sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=$\frac{3}{4}$，
故这个常数等于$\frac{3}{4}$．
（2）由（1）可得 sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$，
推广可得sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．
证明：∵sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²α+${（\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα）}^{2}$+sinα[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}sinα$]
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos² α+$\frac{1}{4}$sin²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin²α=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$ 成立．

点评 本题主要考查归纳推理，三角恒等变换，属于中档题．