Question

3．已知函数f（x）=ln²x-2aln（ex）+3，x∈[e^-1，e²]
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）≤-alnx+4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得y=f（x）=ln²x-2lnx+1，令t=lnx∈[-1，2]，y=t²-2t+1=（t-1）²，运用二次函数的值域求法，即可得到所求值域；
（2）由题意可得ln²x-alnx-2a-1≤0恒成立，令t=lnx∈[-1，2]，t²-at-2a-1≤0恒成立，设y=t²-at-2a-1，讨论对称轴和区间的关系，可得最大值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）当a=1时，y=f（x）=ln²x-2lnx+1，
令t=lnx∈[-1，2]，
∴y=t²-2t+1=（t-1）²，
当t=1时，取得最小值0；t=-1时，取得最大值4．
∴f（x）的值域为[0，4]；
（2）∵f（x）≤-alnx+4，
∴ln²x-alnx-2a-1≤0恒成立，
令t=lnx∈[-1，2]，
∴t²-at-2a-1≤0恒成立，
设y=t²-at-2a-1，
∴当$\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}即a≤1$时，y_max=-4a+3≤0，
∴$\frac{3}{4}≤a≤1$，
当$\frac{a}{2}＞\frac{1}{2}即a＞1$时，y_max=-a≤0，
∴a＞1，
综上所述，$a≥\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数的值域的求法，注意运用换元法，及二次函数的值域求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．