Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，则ω=$\frac{2}{3}$或2．

Answer 1

分析 根据正弦、余弦函数的奇偶性、对称性和单调性，进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是R上的偶函数，0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx；
又f（x）图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，
∴f（$\frac{3π}{4}$）=cos（$\frac{3π}{4}$ω）=0，
即$\frac{3π}{4}$ω=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
即ω=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$k，k∈Z；
又f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，
∴$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$，
解得0＜ω≤2；
当k=0时，ω=$\frac{2}{3}$，
当k=1时，ω=2，
∴ω的值为$\frac{2}{3}$或2．
故答案为：$\frac{2}{3}$或2．

点评 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，利用三角函数的单调性、奇偶性和对称性是解题的关键．