Question

16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出椭圆的顶点坐标以及a、b的值，写出椭圆的标准方程即可；
（2）根据$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，得出$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，利用勾股定理以及椭圆的定义求出|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|的值，即得△F₁PF₂的面积．

解答 解：（1）∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1），
∴a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，
∴${|\overrightarrow{{PF}_{1}}|}^{2}$+${|\overrightarrow{{PF}_{2}}|}^{2}$=（2c）²=${（2\sqrt{3}）}^{2}$=12①；
又|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|+|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|=2a=4，
∴${|\overrightarrow{{PF}_{1}}|}^{2}$+2|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|+${|\overrightarrow{{PF}_{2}}|}^{2}$=16②；
由①、②得，|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|=2，
∴△F₁PF₂的面积为${S}_{{△F}_{1}{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|=1．

点评 本题主要考查了椭圆的定义与标准方程以及平面向量的数量积的应用问题，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a，b和c之间的关系，是基础题目．