Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．

（Ⅰ）若E为AD的中点，试在线段CD上找一点F，使 EF∥平面ABC，并加以证明；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅲ）求几何体A-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取DC的中点F，则F就是要确定的点，（2）由勾股定理证明BC⊥AC；（3）V_A-BCD=V_B-ACD

解答： 解：（Ⅰ）取DC的中点F，则F就是要确定的点，证明如下：
∵E为AD的中点，F是DC的中点，
∴EF∥AC，又EF在平面ABC外，AC在平面ABC内，
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．
∴AC=

22+22

=2

2

，BC=

22+(4-2)2

=2

2

，
∴AC²+BC²=16=AB²；
∴BC⊥AC，又∵平面ADC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅲ）V_A-BCD=V_B-ACD=

1

3

×(

1

2

×2×2)×2

2

=

4 2

3

．

点评：本题考查了学生的空间想象力及作图能力，线面平行的判定定理及勾股定理．属于中档题．