Question

已知函数f（x）=x+

4

x

．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若

x+4

x-a

＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（Ⅱ）若

x+4

x-a

＞0对任意x∈[4，5]恒成立，则a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）解：∵

x+4

x-a

＞0对任意x∈[4，5]恒成立，
∴x-a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，
∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，
∴a＜4．

点评：本题考查函数单调性的证明，考查恒成立问题，属中档题．