Question

16．求证：函数f（x）=3ax²+2（a+1）x+1（a∈R）在（-1，0）内至少有一个零点．

Answer 1

分析 利用零点判定定理以及二次函数的性质证明即可．

解答 证明：由题意可得：f（-1）f（0）=（3a-2a-2+1）×1=a-1，
当a＜1时，f（-1）f（0）=a-1＜0，函数在（-1，0）内有一个零点．
当a≥1时，函数f（x）=3ax²+2（a+1）x+1的开口向上，对称轴为：x=-$\frac{a+1}{3a}$∈（-1，0）．
此时△=4（a+1）²-12a=4a²-4a+4＞0，函数在（-$\frac{a+1}{3a}$，0）由一个零点．
所以函数f（x）=3ax²+2（a+1）x+1（a∈R）在（-1，0）内至少有一个零点．

点评 本题考查函数与方程的应用，零点判定定理的应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．