Question

8．已知f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+1}$是奇函数，g（x）=x²+nx+1为偶函数．
（1）求m，n的值；
（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）-λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．
（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+1}$是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=-m=0，则m=0，
∵g（x）=x²+nx+1为偶函数．
∴对称轴x=-$\frac{n}{2}$=0，即n=0．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x²+1，
则3f（sinx）•g（sinx）=$\frac{3sinx}{sin^2x+1}$（sin²x+1）=3sinx，
则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）-λ对任意x∈R恒成立，
等价为不等式3sinx＞g（cosx）-λ=cos²x+1-λ对任意x∈R恒成立，
即λ＞cos²x-3sinx+1恒成立，
∵cos²x-3sinx+1=-（sinx+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{4}$∈[-2，4]，
∴λ＞4，
即实数λ的取值范围是（4，+∞）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．