Question

5．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ²），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1
（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；
（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由P（75＜X＜95）=1-P（X≤75）-P（X≥95），能求出结果．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）∵体能成绩X服从正态分布N（μ，σ²），P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1，
∴P（75＜X＜95）=1-P（X≤75）-P（X≥95）
=1-0.5-0.1=0.4．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．