Question

函数f（x）=alnx+x，对任意的x∈[

1

e

，e]时，f（x）≥0恒成立，则a的范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：x＞0，f′(x)=

a

x

+1=

a+x

x

，要使f（x）≥0恒成立，则只需当x∈[

1

e

，e]时，求函数f（x）的最小值，让最小值满足大于0即可．

解答： 解：∵f（x）=alnx+x，
∴x＞0，f′(x)=

a

x

+1=

a+x

x

，
要使f（x）≥0恒成立，则只需当x∈[

1

e

，e]时，
求函数f（x）的最小值，让最小值满足大于0，即可．
若a≥0，f'（x）＞0，此时函数在[

1

e

，e]单调递增，
最小值为f（

1

e

）=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此时由

1

e

-a≥0，
解得0≤a≤

1

e

．
若a＜0，由f'（x）=0，得x=-a，函数f（x）在x=-a处取得极小值．
若-a＜

1

e

，在函数在[

1

e

，e]单调递增，
∴最小值为f（

1

e

）=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此时

1

e

-a≥0恒成立，
此时-

1

e

＜a＜0．
若

1

e

＜-a＜e，此时函数在x=-a处取得最小值，
此时f（-a）=aln（-a）-a≥0，解得-e≤a．
若-a≥e，此时函数在[

1

e

，e]单调递递减，
此时最小值为f（e）=alne+e≥0，解得a≥-e．
综上：a的范围为[-e，

1

e

]．
故答案为：[-e，  

1

e

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用，合理运用分类讨论思想进行解题．