Question

18．已知函数f（x）=$\frac{2lnx-k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）当k=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈[1，e]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出当k=1时，f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）由f′（x）=0可得k=$\frac{2xlnx-2}{x}$，运用导数求得右边函数的最值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{2lnx-1}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{2-2xlnx+x}{x{e}^{x}}$（x＞0），
f′（1）=$\frac{3}{e}$，f（1）=-$\frac{1}{e}$，
在点（1，f（1））处的切线方程为y+$\frac{1}{e}$=$\frac{3}{e}$（x-1），
即为y=$\frac{3}{e}$x-$\frac{4}{e}$；
（2）f′（x）=0，即$\frac{2-2xlnx+kx}{{e}^{x}}$=0，
即有k=$\frac{2xlnx-2}{x}$，
令F（x）=$\frac{2xlnx-2}{x}$，
由1≤x≤e，F′（x）=$\frac{2（x+1）}{{x}^{2}}$＞0，
可得F（x）在[1，e]递增，
F（1）为最小值，且为-2；F（e）为最大值，且为2-$\frac{2}{e}$．
则k的取值范围是[-2，2-$\frac{2}{e}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，运用分离参数和不等式恒成立问题转化为求函数的最值是解题的关键．