Question

2．在平面直角坐标xOy中，动点P（x，y）到定直线l：x=-2的距离比到定点F（1，0）的距离大1，D（a，0）是x轴上一动点．
（1）求动点P的轨迹方程G；
（2）当a=-1时，过D作直线，交动点P的轨迹于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点，证明：y₁y₂为定值；
（3）设A（4，y₁）是轨迹方程G在x轴上方的点，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，C为OB的中点，以C为圆心，CO为半径作圆C₁，讨论直线AD与圆C₁的位置关系．

Answer 1

分析 （1）动点P（x，y）到定直线l：x=-1的距离与到定点F（1，0）的距离相等，由此利用抛物线定义能求出动点P的轨迹方程．
（2）设过M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）的直线方程为y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y+4k=0，由此能证明y₁y₂为定值．
（3）推导出圆C₁的圆心是点C（0，2），半径为2，由此能判断直线AD与圆C₁的位置关系．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）依题意得，动点P（x，y）到定直线l：x=-1的距离与到定点F（1，0）的距离相等，
所以动点P（x，y）的轨迹是以直线l：x=-1为准线，定点F（1，0）为焦点的抛物线．…（2分）
因为$\frac{p}{2}$=1，所以2p=4，所以动点P的轨迹方程为y²=2x．…（4分）
证明：（2）当a=-1时，设过M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）的直线方程为y=k（x+1）．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y+4k=0，
∴y₁y₂=$\frac{4k}{k}$=4，∴y₁y₂为定值．…（8分）
解：（3）由（1）和条件得y₁=4，
∴A（4，4），B（0，4），∴圆C₁的圆心是点C（0，2），半径为2．…（9分）
当a=4时，直线AD的方程为x=4，此时直线AD与圆C₁相离．…（10分）
当a≠4时，直线AD的方程为y=$\frac{4}{4-a}（x-a）$，即4x-（4-a）y-4a=0，
圆心C（0，2）到直线AD的距离d=$\frac{|2a+8|}{\sqrt{16+（a-4）^{2}}}$．
令d＞2，解得a＞1；令d=2，解得a=1；令d＜2，解得a＜1．…（12分）
综上所述，当a＞1时，直线AD与圆C₁相离；
当a=1时，直线AD与圆C₁相切；当a＜1时，直线AD与圆C₁相交．…（14分）

点评 本题考查点的轨迹方程求法，考查两点纵坐标之积为定值的证明，考查直线与圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线定义、韦达定理、点到直线距离公式的合理运用．