题目内容
12．正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．分析 由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，可得EF=$\frac{1}{2}$BD，GE=GF=$\frac{1}{2}$SB，即可得出．
解答 解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，
BD=2$\sqrt{2}$，SB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
GE=GF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴轨迹的周长为 $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了正四棱锥的性质、三角形中位线定理、勾股定理、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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3．已知函数f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）（其中x1＜x2＜x3），g（x）=ex-e-x，且函数f（x）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，μ=$\frac{{{x}_{2}+x}_{3}}{2}$，则（ ）
| A． | g（α）＜g（λ）＜g（β）＜g（μ） | B． | g（λ）＜g（α）＜g（β）＜g（μ） | C． | g（λ）＜g（α）＜g（μ）＜g（β） | D． | g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β） |
17．以正四面体各面中心为顶点的新四面体的棱长是原四面体棱长的（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
已知正三棱锥S-ABC底面边长为2$\sqrt{3}$，过侧棱SA与底面中心O作截面SAD，在△SAD中，若SA=AD，求侧面与底面所成二面角的余弦值．