Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$短轴长2，离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（1）求椭圆的方程；
（2）若y=kx+m与x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，与椭圆交于A，B两点，当A，B两点横坐标不相等时，证明以AB为直径的圆恰过原点O．

Answer 1

分析 （1）椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$短轴长2，离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（2）由y=kx+m与x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，得m²=$\frac{2}{3}（{k}^{2}+1）$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式能证明以AB为直径的圆恰过原点O．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$短轴长2，离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得b=1，a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
证明：（2）由题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，
∵y=kx+m与x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，
∴圆心（0，0）到直线y=kx+m的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，∴m²=$\frac{2}{3}（{k}^{2}+1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8（2k²+1-m²）＞0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴以AB为直径的圆恰过原点O．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查圆过原点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式、椭圆性质的合理运用．