Question

15．（文）已知△ABC中，cosA=a，sinB=$\frac{4}{5}$，当a满足条件0时，cosC具有唯一确定的值．

Answer 1

分析 设sinA=m，sinB=n，由正弦定理和余弦定理分析出cosC有唯一确定值的方法．

解答 解：设sinA=m，sinB=n，由正弦定理$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}=k$，得到a=$\frac{sinA}{k}$=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{4}{5k}$=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，
又由余弦定理得到cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-1+co{s}^{2}C}{2mn}$，所以cos²C-2mncosC+（m²+n²-1）=0，
因为cosC具有唯一确定的值，所以判别式△=4m²n²-4（m²+n²-1）=0，
化简得（m²-1）（n²-1）=0，由于m，n不能同时为1，所以m，n只有一个为1时，即三角形为直角三角形时，cosC有唯一确定的值；此时A=0；
故答案为：0．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理的运用；从方程判别式的角度求出cosC有唯一确定值的方法．