Question

15．设$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共线，且$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$（a，b∈R）．
（1）若a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$，求证：A，B，C三点共线；
（2）若A，B，C三点共线，问：a+b是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．
（2）a+b为定值1，分析如下：因为A，B，C三点共线，可得$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{AB}$，不妨设$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），再利用向量三角形法则可得：$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），整理与$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共线，半径即可得出．

解答 （1）证明：当a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
所以$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$），
即2$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CA}$，
所以$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{CA}$，
所以A，B，C三点共线．
（2）解：a+b为定值1，证明如下：
因为A，B，C三点共线，所以$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{AB}$，
不妨设$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），
所以$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），即$\overrightarrow{OC}$=（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，
又$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共线，
由平面向量的基本定理，得$\left\{\begin{array}{l}{a=1-λ}\\{b=λ}\end{array}\right.$，
所以a+b=1（定值）．

点评 本题考查了向量共线定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．