题目内容

10．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况{单位万元，将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]样本数据分组为[0，20），[20，40）[40，60）[60，80），[80，100）
（1）求直方图中x的值；
（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（3）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）

分析 （1）由频率分布直方图能求出x的值．
（2）由频率分布直方图求出年上缴税收不少于60万元的企业所占频率为0.12，由此能估计有多少企业可以申请政策优惠．
（3）企业年上缴税收少于20万元的频率p=0.25，从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，则X～B（4，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
（x+0.025+0.0065+0.003+0.003）×20=1，
解得x=0.0125．
（2）由频率分布直方图得年上缴税收不少于60万元的企业所占频率为（0.003+0.003）×20=0.12，
∵年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，共抽取企业1200个，
∴估计有：1200×0.12=144个企业可以申请政策优惠．
（3）企业年上缴税收少于20万元的频率p=0.0125×20=0.25，
从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，
则X～B（4，$\frac{1}{4}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{4}（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{81}{256}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{108}{256}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{12}{256}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{1}{256}$，
∴X的分布列为：

 X 0 1 2 3 4
 P $\frac{81}{256}$ $\frac{108}{256}$ $\frac{54}{256}$ $\frac{12}{256}$ $\frac{1}{256}$
E（X）=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{108}{256}+2×\frac{54}{256}+3×\frac{12}{256}+4×\frac{1}{256}$=1．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

练习册系列答案
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A组：
消费指数（百元）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6）合计
人数3465220
频率     1.00
B组：
消费指数（百元）[3，4）[4，5）[5，6）[6，7）[7，8]合计
人数93672549180
频率     1.00
（1）请完善以上两频率分布表；
（2）分别在答题纸上完成A组与B组的频率分布直方图；（直接作图即可）
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