Question

在2014-2015赛季的CBA（中国职业篮球）常规赛中，甲、乙两队要进行三场比赛，在三场比赛中，甲队两个主场一个客场，乙队一个主场两个客场，按以往多年的比赛统计，两队主客场的胜负概率如下表，按照比赛规定，每场胜队得2分，负队得1分（比赛结果只有胜负两种可能，如果出现平局时就加时，直至分出胜负为止），设甲、乙两队最后所得的总分分别为ξ、η，且ξ+η=9．

主客场	甲队胜	乙队胜
甲对主场	2 3	1 3
乙队主场	1 3	2 3

（1）甲队得5分的概率；
（2）求ξ的分布列，并用统计学知识说明两个队的实力情况．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列

专题：分类讨论,概率与统计

分析：（1）根据题意：甲胜2场，负1场，即甲队对主场胜2场和甲队主场胜1场，根据已知概率求解即可．
（2）根据题意可得：ξ=3，4，5，6，分别求解：P（ξ=3）=

2

27

，P（ξ=4）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

+

C

2 2

（

1

3

）²×

1

3

=

1

3

，P（ξ=5）=

4

9

，P（ξ=6）=

C

2 2

×（

2

3

）²×

1

3

=

4

27

，列出分布列，根据公式求解数学期望．

解答： 解：（1）根据题意可得：
∵甲队得5分的情况是，甲胜2场，负1场，
∴甲队对主场胜2场和甲队主场胜1场，两种情况．
∴甲队得5分的概率为：

C

2 2

（

2

3

）²×

2

3

+

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

1

3

=

4

9

（2）甲、乙两队最后所得的总分分别为ξ、η，且ξ+η=9．
根据题意可得：ξ=3，4，5，6
∴P（ξ=3）=

2

27

，P（ξ=4）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

+

C

2 2

（

1

3

）²×

1

3

=

1

3

，
P（ξ=5）=

4

9

，P（ξ=6）=

C

2 2

×（

2

3

）²×

1

3

=

4

27

，

ξ	3	4	5	6
P	2 27	1 3	4 9	4 27

E_ξ=3×

2

27

+4×

1

3

+5×

4

9

+6×

4

27

=

14

3

，∵E_ξ+Eη=3×3=9，
∴Eη=

13

3

，说明两个队的实力相当，甲稍微强一点．

点评：本题考查了离散型的随机变量的概率与分布列，关键是确定随机变量的值，求解概率，属于中档题．