Question

13．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x＜0\\-{x^2}+2x，x≥0\end{array}\right.$若关于x的方程$f（x）=\frac{1}{2}x+m$恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（　　）

• A． $[{0，\frac{3}{4}}]$
• B． $（0，\frac{3}{4}）$
• C． $[{0，\frac{9}{16}}]$
• D． $（0，\frac{9}{16}）$

Answer 1

分析 若关于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+m有三个交点，数形结合可得答案．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x＜0\\-{x^2}+2x，x≥0\end{array}\right.$的图象如下图所示：

若关于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+m恰有三个不相等的实数解，
则函数f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+m有三个交点，
当直线y=$\frac{1}{2}$x+m经过原点时，m=0，
由y=-x²+2x的导数y′=-2x+2=$\frac{1}{2}$得：x=$\frac{3}{4}$，
当直线y=$\frac{1}{2}$x+m与y=-x²+2x相切时，切点坐标为：（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$），
当直线y=$\frac{1}{2}$x+m经过（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$）时，m=$\frac{9}{16}$，
故m∈（0，$\frac{9}{16}$），
故选：D．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．