Question

15．设函数f（x）=x²-2x+3，g（x）=3x-1．
（1）解关于x的不等式$\frac{f（x）}{g（x）}$≥1；
（2）是否存在实数a，使得|af（x）-x|≤1成立的充分条件是1≤x≤2，若存在求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出不等式，解不等式即可；
（2）结合已知条件得到$\frac{x-1}{f（x）}$＜a＜$\frac{1+x}{f（x）}$恒成立．由于当1≤x≤2时，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2的最大值为3，最小值为2，将其代入可以求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-2x+3，g（x）=3x-1．
∴由$\frac{f（x）}{g（x）}$≥1得到：$\frac{{x}^{2}-2x+3}{3x-1}$≥1．
∴$\frac{{x}^{2}-5x+4}{3x-1}$≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+4≥0}\\{3x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$＜x≤1或x≥4；
或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+4≤0}\\{3x-1＜0}\end{array}\right.$，
该方程组无解．
综上所述，x的取值范围是：（$\frac{1}{3}$，1]∪[4，+∞）．
（2）依题意知：当1≤x≤2时，|af（x）-x|≤1恒成立，
所以当1≤x≤2时，-1≤af（x）-x≤1恒成立，
即$\frac{x-1}{f（x）}$＜a＜$\frac{1+x}{f（x）}$恒成立
由于当1≤x≤2时，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2的最大值为3，最小值为2，
因此0＜a＜$\frac{3}{2}$，
即0＜a＜$\frac{3}{2}$，
所以实数a的取值范围（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，必要条件、充分条件与充要条件．解答该题时，需要熟悉绝对值不等式的解答方法，考查学生的计算能力，属于中档题．