Question

2．已知函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x的范围结合三角函数的值域可得；
（Ⅱ）解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得函数f（x）单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，∴$-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$时，函数f（x）的最大值为2；
当$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$即$x=-\frac{π}{6}$时，函数f（x）的最小值为-1；
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题考查正弦函数的图形化额单调性以及最值，属基础题．