Question

6．观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明．
1-x²=（1-x）（1+x），
1-x³=（1-x）（1+x+x²），
1-x⁴=（1-x）（1+x+x²+x³）．

Answer 1

分析 归纳猜想得：1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*．检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

解答 解：归纳猜想得：1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*．
证明如下：①当n=1时，左边=1-x，右边=1-x，猜想成立；         
②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即1-x^k=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1）成立，
当n=k+1时，右边=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1+x^k）
=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1）+（1-x）x^k=1-x^k+（1-x）x^k=1-x^k+1=左边
所以n=k+1时猜想也成立．
由①②可得，1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*成立．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．