Question

已知f（x）=

x

1+x

，数列{a_n}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{b_n}中b₁=

1

2

，且b_n+1=f（b_n）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n（

1

bn

-1），{c_n}的前n项和为T_n，证明：对?n∈N₊有T_n＜4．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”可得T_n=4-

2+n

2n-1

．当n=1，2，3时，T_n＜4；当n≥4时，利用二项式定理可得：2^n-1=（1+1）^n-1=（n-1）+（n-1）+…＞2n-2≥n+2，可得

n+2

2n-1

≤1，即可证明T_n＜4．

解答： 解：（1）f（1）=

1

2

，∵数列{a_n}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列，∴a_n=(

1

2

)n-1．
∵b_n+1=f（b_n）=

bn

1+bn

，∴

1

bn+1

=

1

bn

+1，即

1

bn+1

-

1

bn

=1．
∴数列{

1

bn

}是以

1

b1

=2为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

bn

=2+(n-1)×1=n+1，
∴bn=

1

n+1

．
（2）c_n=a_n（

1

bn

-1）=

n

2n-1

，
∴T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
两式错位相减可得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

．
∴T_n=4-

2+n

2n-1

．
当n=1时，T₁=1＜4；
当n=2时，T₂=2＜4；
当n=3时，T₃=

11

4

＜4．
当n≥4时，
2^n-1=（1+1）^n-1=（n-1）+（n-1）+…＞2n-2≥n+2，
∴

n+2

2n-1

≤1，∴4-

n+2

2n-1

≤3＜4．
∴对?n∈N₊有T_n＜4．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、二项式定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．