Question

函数f（x）=

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3

x³-x²+a，函数g（x）=x²-3x，它们的定义域均为[1，+∞），并且函数f（x）的图象始终在函数g（x）的上方，那么a的取值范围是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（-

  4

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，

  4

  3

  ）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由题意知f（x）＞g（x）在[1，+∞）上恒成立，从而f（x）-g（x）=

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x3-2x2+3x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，设h（x）=

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3

x3-2x2+3x-a，由题意知h（x）_最小值＞0．由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

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x³-x²+a，
函数g（x）=x²-3x，它们的定义域均为[1，+∞），
并且函数f（x）的图象始终在函数g（x）的上方，
∴f（x）＞g（x）在[1，+∞）上恒成立，
∴f（x）-g（x）=

1

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x3-2x2+3x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，
设h（x）=

1

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x3-2x2+3x-a，
则h′（x）=x²-4x+3，
由h′（x）＞0，得x＞3或x＜1，由h′（x）＜0，得1＜x＜3，
∵x∈[1，+∞），
∴h（x）的增区间为（3，+∞），减区间为[1，3），
∴h（x）_最小值=h（3）=9-18+9+a=a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故选：A．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．