Question

已知函数f（x）=log₂

x-1

x+2

，x∈[2，4]，
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=

x-1

x+2

=1-

3

x+2

，则函数f（x）=log₂t．根据函数t在[2，4]上单调递增，根据复合函数的单调性可得函数f（x）在[2，4]上单调递增．
（2）由于函数f（x）[2，4]上单调递增，求得函数f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）令t=

x-1

x+2

=1-

3

x+2

，则函数f（x）=log₂t．
显然函数t在[2，4]上单调递增，根据复合函数的单调性可得函数f（x）在[2，4]上单调递增．
（2）由于函数f（x）在[2，4]上单调递增，∴f（x）_max=f（4）=-1，f（x）_min=f（2）=-2．

点评：本题主要考查复合函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．