Question

如图，已知扇形AOB的面积为

π

12

，弧AB的长为

π

6

（1）求扇形AOB的半径和圆心角
（2）在扇形AOB的弧AB上任取一点C，作CD∥OA，交OB于点D，求△OCD的最大面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,扇形面积公式,两角和与差的正切函数,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）设扇形AOB的半径为R，圆心角为θ，弧AB的长为l，面积为S，由题意可得

l=θR= π 6 S= 1 2 lR= π 12

，解方程组可得；（2）作DE⊥OA于点E，CF⊥OA于点F，设∠AOC=α，则0＜α＜

π

6

，由三角形的知识可得CF=sinα，OF=cosα，CD=cosα-

3

sinα，可得S=

1

2

sin(2α+

π

3

)-

3

4

，由α的范围可得．

解答： 解：（1）设扇形AOB的半径为R，圆心角为θ，弧AB的长为l，面积为S
则

l=θR= π 6 S= 1 2 lR= π 12

，解得

R=1 θ= π 6

；
（2）作DE⊥OA于点E，CF⊥OA于点F，设∠AOC=α，则0＜α＜

π

6

，
在Rt△OCF中，CF=sinα，OF=cosα，在Rt△ODE中，
∴OE=

3

DE=

3

CF=

3

sinα，
∴EF=OF-OE=cosα-

3

sinα，
即CD=cosα-

3

sinα，
∴S△OCD=

1

2

CD•CF=

1

2

sinα•(cosα-

3

sinα)=

1

2

sinαcosα-

3

2

sin2α
=

1

4

sin2α-

3 (1-cos2α)

4

=

1

4

sin2α+

3

4

cos2α-

3

4

=

1

2

sin(2α+

π

3

)-

3

4

，0＜α＜

π

6

，
∵0＜α＜

π

6

，∴

π

3

＜2α+

π

3

＜

2π

3

，
∴当2α+

π

3

=

π

2

，即α=

π

12

时，S_△OCD有最大值且为

1

2

-

3

4

．

点评：本题考查三角函数的实际应用，涉及两角和与差的三角函数及扇形的面积公式，属中档题．