Question

已知函数f（x）=

ln(x-a)

x

．
（Ⅰ）若a=-1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y=0平行，求a的值；
（Ⅲ）若x＞0，证明：

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

（其中e=2.71828…是自然对数的底数）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ） 先求导，得到f′（x）=

x-(x+1)ln(x+1)

(x+1)x2

，再构造函数g（x）=x-（x+1）ln（x+1），求出g（x）的最大值为0，继而得到f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，问题得以证明；
（Ⅱ）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，解方程即可得；
（Ⅲ）

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

=

ln(ex-1+1)

ex-1

，由（Ⅰ）的结论，故要证原不等式成立，只需要证明：当x＞0时，x＜e^x-1，构造函数，利用导数和函数的最值的关系即可证明．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=

ln(x+1)

x

，
∴函数的定义域为（-1，0）∪（0，+∞），
∴f′（x）=

x-(x+1)ln(x+1)

(x+1)x2

，
设g（x）=x-（x+1）ln（x+1），
∴g′（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1），
∴g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．

（Ⅱ）∵f′（x）=

x-(x-a)ln(x-a)

(x-a)x2

，
∴k=f′（1）=

1-(1-a)ln(1-a)

1-a

，
∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y=0平行
∴

1-(1-a)ln(1-a)

1-a

=1，
即ln（1-a）=

a

1-a

，分别画出y=ln（1-x）与y=

x

1-x

的图象，
又图象可知交点为（0，0）
∴解得a=0．

（Ⅲ）：∵

x

ex-1

=

lnex

ex-1

=

ln(ex-1+1)

ex-1

，
∴

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

=

ln(ex-1+1)

ex-1

，
由（Ⅰ）知，当a=-1时，f（x）=

ln(x+1)

x

在（0，+∞）上为减函数，
故要证原不等式成立，只需要证明：当x＞0时，x＜e^x-1，
令h（x）=e^x-1-x，
则h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（0）=0，即x＜e^x-1，
∴f（x）＞f（e^x-1）
即

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

．

点评：本题考查导数和函数的单调性最值的关系，以及导数的几何意义，考查了不等式的证明问题，培养了学生的转化能力，运算能力，处理问题的能力，属于难题