Question

设任意正实数x，y，z满足x+2y+z=1，不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

-m²+6m≥0对任意正数x，y，z恒成立，则实数m的取值的最大值是（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

-m²+6m≥0对任意正数x，y，z恒成立?不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

≥m²-6m对任意正数x，y，z恒成立，求出

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

的最小值，即可求得结论．

解答： 解：不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

-m²+6m≥0对任意正数x，y，z恒成立?不等式

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

≥m²-6m对任意正数x，y，z恒成立．
∵x+2y+z=1，
∴

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

=[

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

][（x+y）+（y+z）]=

y+z

x+y

+

9(x+y)

y+z

+1≥7，当且仅当

y+z

x+y

=

9(x+y)

y+z

时取等号．
∴m²-6m≤7，
∴-1≤m≤7，
∴实数m的取值的最大值是7，
故选：B．

点评：正确等价转化和熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．