Question

2．网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$．小明均参与了以上三件商品的抢拍．
（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；
（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）至少有一件商品被小明抢拍成的对立事件为三件商品中没有一件被抢拍成功，由概率公式三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为${P_1}=（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{6}$，由$P=1-{P_1}=\frac{5}{6}$；
（2）由题意可知：ξ的取值为0，1，2，3，根据概率公式求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），列出其分布列求得数学期望．

解答 解：（1）三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为${P_1}=（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{6}$，
∴三件商品中至少有一件被小明抢拍成功的概率为$P=1-{P_1}=\frac{5}{6}$．
（2）由题意可知：ξ=0，1，2，3，
则$P（ξ=0）=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=1）=\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×\frac{2}{3}=\frac{17}{36}$，
$P（ξ=2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{3}）×\frac{2}{3}=\frac{11}{36}$，
$P（ξ=3）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$．
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{17}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{18}$

$Eξ=0×\frac{1}{6}+1×\frac{17}{36}+2×\frac{11}{36}+3×\frac{1}{18}=1.25$．

点评 本题考查离散型随机变量及分布列，考查随机变量的数学期望，考查对立事件的概率公式，属于中档题．