Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=

1

2n

（n∈N），若b_n=log 

1

2

a_n²，且S_n是数列{b_n}的前n项和，当n≥5时，试证明a_nS_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出当n≥5时，试证明a_nS_n＜1等价于证明当n≥5时，

n(n+1)

2n

＜1．用数学归纳法证明：①当n=5时，

5×6

25

=

15

16

＜1，命题成立．②假设n=k时命题成立，即

k(k+1)

2k

＜1，推导出当n=k+1时，

(k+1)(k+2)

2k+1

＜1，命题也成立，由此能证明当n≥5时，a_nS_n＜1总成立．

解答： 证明：∵a_n=

1

2n

（n∈N），∴b_n=log 

1

2

a_n²=2log

1

2

(

1

2n

)=2n，
∴S_n=2（1+2+3+…+n）=n（n+1），
∵当n≥5时，试证明a_nS_n＜1等价于证明当n≥5时，

n(n+1)

2n

＜1．
下面用数学归纳法证明：
①当n=5时，

5×6

25

=

15

16

＜1，命题成立．
②假设n=k时命题成立，即

k(k+1)

2k

＜1，
则当n=k+1时，

(k+1)(k+2)

2k+1

=

k(k+1)

2k+1

+

2(k+1)

2k+1

＜

1

2

+

k+1

2k

，
设cn=

n+1

2n

，则cn+1-cn=

n+2

2n+1

-

n+1

2n

=

-n

2n

＜0，
即{c_n}为递减数列，
当n≥5时，cn≤c5=

3

16

＜

1

2

，
∴

(k+1)(k+2)

2k+1

＜1，命题也成立，
综上①②，得当n≥5时，a_nS_n＜1总成立．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意数学归纳法的合理运用．