题目内容
如图，在三棱锥C-ABD中，AC⊥CB，AC=CB，E为AB的中点，AD=DE=EC=2，CD=2| 2 |
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面CAD所成角的正弦值．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CE⊥DE，CE⊥AB，由此能证明CE⊥平面ABD，从而得到平面ABC⊥平面ABD．
（Ⅱ）以E点为坐标原点，建立直角坐标系，利用向量法能求出直线DB与平面ADE所成角的正弦值．
（Ⅱ）以E点为坐标原点，建立直角坐标系，利用向量法能求出直线DB与平面ADE所成角的正弦值．
解答：
（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在△CDE中，CD=2
， DE=EC=2，
∴DE2+EC2=22+22=8， CD2=(2
)2=8，
∴CD2=DE2+EC2，
则△CDE为直角三角形，
所以，CE⊥DE．
又由已知AC⊥BC，AC=BC，
且E是AB的中点，得CE⊥AB．
又AB∩DE=E，∴CE⊥平面ABD
又CE?面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD．（6分）
（Ⅱ）解：以E点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
则C（0，0，2），B（0，2，0），A(0，-2，0)，D(
， -1，0)，
=(-
， 3，0)，
=(0，2，2)，
=(-
，1，2)．
设平面ACD的法向量为
=(x，y，z)，
则有
，即
，
解得：z=
x， y=-z，
所以，平面ACD的一个法向量为
=(1，-
，
)，
cos＜
•
＞=
=
=-
，
故直线DB与平面ADE所成角的正弦值为
．（12分）
（Ⅰ）证明：在△CDE中，CD=2
| 2 |
∴DE2+EC2=22+22=8， CD2=(2| 2 |
∴CD2=DE2+EC2，
则△CDE为直角三角形，
所以，CE⊥DE．
又由已知AC⊥BC，AC=BC，
且E是AB的中点，得CE⊥AB．
又AB∩DE=E，∴CE⊥平面ABD
又CE?面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD．（6分）
（Ⅱ）解：以E点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
则C（0，0，2），B（0，2，0），A(0，-2，0)，D(
| 3 |
| DB |
| 3 |
| AC |
| DC |
| 3 |
设平面ACD的法向量为
| n |
则有
|
|
解得：z=
| 3 |
所以，平面ACD的一个法向量为
| n |
| 3 |
| 3 |
cos＜
| n |
| DB |
| ||||
|
|
-
| ||||
|
2
| ||
| 7 |
故直线DB与平面ADE所成角的正弦值为
2
| ||
| 7 |
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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