Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率e=

2

2

，O为原点坐标原点，且椭圆的一短轴端点到一焦点的距离为4

2

．
（1）求椭圆E的方程
（2）若M（X₀，Y₀）为椭圆E上的动点，其中2＜Y₀＜

31 2

，过点M作圆x²+（y-1）²=1的两切线，两切线与x轴围成的三角形面积为S，求S关于y₀的函数解析式．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得a=4

2

，

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设切线kx-y+y₀-kx₀=0，切线与x轴交点为（x0-

y0

k

，0），圆心到切线的距离为d=

|-1+y0-kx0|

k2+1

=1，由此利用韦达定理结合已知条件能求出两切线与x轴围成的三角形的面积S关于y₀的函数解析式．

解答： 解：（1）∵椭圆的椭圆的一短轴端点到一焦点的距离为4

2

，
∴a=4

2

，
∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，
解得a=4

2

，b=c=4，
∴椭圆方程为

x2

32

+

y2

16

=1．
（2）设切线y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，
切线与x轴交点为（x0-

y0

k

，0），圆心到切线的距离为d=

|-1+y0-kx0|

k2+1

=1，
化简，得(x02-1)k2+2x0(1-y0)k+y02-2y0=0，
设两切线斜率分别为k₁，k₂，则

k1+k2=- 2x0(1-y0) x02-1 k1k2= y02-2y0 x02-1

，
S=

1

2

|（x0-

y0

k1

）-（x0-

y0

k2

）|•y₀
=

1

2

•

|k1-k2|

|k1k2|

=

y0 x02+y02-2y0

y0-2

=

y0 32-y02-2y0

y0-2

，
∴两切线与x轴围成的三角形的面积S关于y₀的函数解析式为：
S=

y0 32-y02-2y0

y0-2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查函数解析式的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．