Question

8．已知a＞2，f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（Ⅰ）求函数f（x）最小值；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤2-|x-1|有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出函数的分段函数的形式，从而求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）问题转化为|2x-a|+|2x-2|≤2，根据绝对值不等式的性质得到|2x-a|+|2x-2|≥a-2，问题转化为a-2≤2，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）因为a＞2，所以$\frac{a}{2}＞1$，
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x-a-1，x≥\frac{a}{2}\\-x+a-1，1≤x≤\frac{a}{2}\\-3x+a+1，x＜1\end{array}\right.$．
可知f（x）在$（-∞，\frac{a}{2}]$单调递减，在$[\frac{a}{2}，+∞）$单调递增，
所以当$x=\frac{a}{2}$时，f（x）取最小值$\frac{a}{2}-1$．…（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≤2-|x-1|，即|2x-a|+|2x-2|≤2．
因为|2x-a|+|2x-2|≥|（2x-a）-（2x-2）|=|a-2|，
当（2x-a）（2x-2）≤0，即$1≤x≤\frac{a}{2}$时，等号成立，
所以|2x-a|+|2x-2|≥a-2．
因为关于x的不等式|2x-a|+|2x-2|≤2有解，
所以a-2≤2，得a≤4，
故a的取值范围是（2，4]．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及转化思想，是一道中档题．