Question

13．已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；
（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当$CD=\sqrt{2}$时，求直线CD的方程；
（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出MP=2，推出∠MPA=∠MPA=30°，即可求出∠APB．
（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y-1=k（x-2），利用圆心M到直线CD的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出k没然后求解直线方程．
（3）设P（2m，m），MP的中点$Q（m，\frac{m}{2}+1）$，求出经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，
的方程，然后求解，交点坐标，推出经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点$（{\frac{4}{5}，\frac{2}{5}}）$．

解答 解：（1）因为点P坐标为（0，0），所以MP=2，
又因为MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°，故∠APB=60°．
（2）当直线斜率不存在时，不合题意；
当直线斜率存在时，设直线CD方程为y-1=k（x-2）
因为$CD=\sqrt{2}$，所以圆心M到直线CD的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由$\frac{{|{-2k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得k=-1或$k=-\frac{1}{7}$，
故直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0．
（3）设P（2m，m），MP的中点$Q（m，\frac{m}{2}+1）$，
因为PA为圆M的切线，
所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，
故其方程为${（x-m）^2}+{（y-\frac{m}{2}-1）^2}={m^2}+{（\frac{m}{2}-1）^2}$
化简得x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}\\ y=\frac{2}{5}\end{array}\right.$，
所以经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点$（{\frac{4}{5}，\frac{2}{5}}）$．

点评 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．