Question

对于定义在R上的函数f（x）有以下五个命题：
①若f（x）为奇函数，则y=f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若对于任意x∈R，有f（x-2）=f（x+2），则f（x）的图象一定关于直线x=2对称；
③函数y=f（x+2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
④如果函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），那么该函数以4为周期；
⑤如果函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=-f（3-x），那么该函数以4为周期．
其中错误命题的序号为

 

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Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：对于①，奇函数f（x）的对称中心是（0，0），向右平移一个单位后得f（x-1），对称中心必然平移一个单位．
对于②，根据已知能得到周期T=4，无法得对称轴．
对于③，这是两个函数的对称轴之间的关系，由x+2=2-x，得x=0是对称轴．
对于④，根据周期的定义可以证明是正确结论
对于⑤，根据周期的定义可以证明是不正确结论

解答： 解：对于①若f（x）为奇函数，则（0，0）是函数f（x）的对称中心，将函数向右平移一个单位得f（x-1），对称中心也向右平移一个单位，故f（x-1）关于（1，0）中心对称．故结论正确．
对于②是不正确的结论，由f（x-2）=f（x+2）说明函数的周期是4，并不能说明图象一定关于直线x=2对称，故结论不正确．
对于③结论是不正确的．将函数f（x）向左平移2个单位得f（x+2），将f（-x）向右平移2个单位得f（2-x），因为f（x）与f（-x）关于y轴对称，所以f（x+2）与f（2-x）也是关于y轴对称，由x+2=2-x，得x=0是对称轴．
对于④结论正确．∵f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），∴f（x+4）=f[（x+1）+3]=f[3-（x+1）]
=f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x），∴T=4．
对于⑤结论是不值钱的．∵f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=-f（3-x），∴f（x+4））=f[（x+1）+3]
=-f[3-（x+1）]=-f（2-x）=-f[1+（1-x）]=-f[1-（1-x）]=-f（x），∴f（x+4）=-f（x），∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x）
∴T=8．综上可知，结论②③⑤是不正确的．
故答案为：②③⑤

点评：本题考查了函数的抽象性质，其中①和③都是容易出错的题目，属于中档题．