Question

7．若函数f（x）=|x|+$\sqrt{a-{x^2}}-\sqrt{2}$（a＞0）没有零点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（\sqrt{2}，+∞）$
• B． （2，+∞）
• C． $（0，1）∪（\sqrt{2}，+∞）$
• D． （0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数f（x）没有零点，等价为函数y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$与y=$\sqrt{2}$-|x|的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a的取值范围．

解答 解：令|x|+$\sqrt{a-{x^2}}-\sqrt{2}$=0得$\sqrt{a-{x}^{2}}$=$\sqrt{2}$-|x|，
令y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$，则x²+y²=a，表示半径为$\sqrt{a}$，圆心在原点的圆的上半部分，
y=$\sqrt{2}$-|x|，表示以（0，$\sqrt{2}$）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图，
根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于1，或者圆心到折线的距离大于半径$\sqrt{2}$，
∴a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）
故选：D．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件构造函数，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合是解决本题的关键．