Question

12．已知函数f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）．
（1）判断函数f（x）奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）单调性并用单调性定义证明；
（3）求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）奇偶性并证明；
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）单调性并用单调性定义证明；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系即可求函数g（x）的值域．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），关于原点对称       …（2分）
f（-x）=-f（x）∴f（x）为（-1，1）上的奇函数                                …（4分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_2}\frac{{1+{x_1}}}{{1-{x_1}}}-{log_2}\frac{{1+{x_2}}}{{1-{x_2}}}$=${log_2}\frac{{（1+{x_1}）（1-{x_2}）}}{{（1-{x_1}）（1+{x_2}）}}$，
又-1＜x₁＜x₂＜1∴（1+x₁）（1-x₂）-（1-x₁）（1+x₂）=2（x₁-x₂）＜0
即0＜（1+x₁）（1-x₂）＜（1-x₁）（1+x₂），
∴$0＜\frac{{（1+{x_1}）（1-{x_2}）}}{{（1-{x_1}）（1+{x_2}）}}＜1$，
∴${log_2}\frac{{（1+{x_1}）（1-{x_2}）}}{{（1-{x_1}）（1+{x_2}）}}＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增…（8分）
（3 ）  由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
则g（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）=g（x）=log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（1-x²）≤log₂1=0，
即g（x）的值域为（-∞，0]…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性，值域的求解和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义结合对数函数的运算法则是解决本题的关键．