Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
（1）设椭圆的半焦 距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）设（1）中的椭圆C与直线y=kx+1相交于P、Q两点，求

OP

•

OQ

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：等差数列与等比数列,向量与圆锥曲线

分析：（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，求出a²，b²即可1；
（2）把直线方程y=kx+1代入椭圆方程，消去y，得（3k²+2）x²+6kx-3=0；利用根与系数的关系表示出

OP

•

OQ

的值，求出

OP

•

OQ

的取值范围．

解答： 解：（1）∵c=1，且a²，b²，c²成等差数列，
∴a²=b²+1，且2b²=a²+1；
解得a²=3，b²=2；
∴椭圆C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1； …（5分）
（2）将y=kx+1代入椭圆方程，得

x2

3

+

(kx+1)2

2

=1；
 化简得，（3k²+2）x²+6kx-3=0；
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

6k

3k2+2

，x₁x₂=-

3

3k2+2

； …（8分）
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=-

3(k2+1)

3k2+2

-

6k2

3k2+2

+1
=

-6k2-1

3k2+2

=-2+

3

3k2+2

； …（10分）
由k²≥0，得3k²+2≥2，
∴0＜

3

3k2+2

≤

3

2

，
∴-2＜-2+

3

3k2+2

≤-

1

2

；
∴

OP

•

OQ

的取值范围是（-2，-

1

2

]．…（13分）

点评：本题考查了等差数列的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，考查了椭圆的几何性质的应用问题，是综合题目．