Question

已知实数a，b，c满足a²+b²=c²，c≠0，则

b

a-2c

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：实数a，b，c满足a²+b²=c²，c≠0，化为(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k=

b

a-2c

=

b c

a c -2

=

sinθ

cosθ-2

，表示点P（2，0）与圆x²+y²=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．

解答： 解：∵实数a，b，c满足a²+b²=c²，c≠0，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴k=

b

a-2c

=

b c

a c -2

=

sinθ

cosθ-2

，表示点P（2，0）与圆x²+y²=1上的点连线的直线的斜率．
设直线l：y=k（x-2），
则

|-2k|

1+k2

≤1，
化为k2≤

1

3

，
解得-

3

3

≤k≤

3

3

．
∴

b

a-2c

的取值范围为[-

3

3

，

3

3

]．
故答案为：[-

3

3

，

3

3

]．

点评：本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．