Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+

3

2

=2cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A；
（2）运用正弦定理，求得b，c，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．

解答： 解：（1）cos2A+

3

2

=2cosA，
即2cos²A-1+

3

2

=2cosA，
即有4cos²A-4cosA+1=0，
（2cosA-1）²=0，
即cosA=

1

2

，（0＜A＜π），
则A=

π

3

；
（2）由正弦定理可得b=

asinB

sinA

=

sinB

3 2

=

2

3

sinB，
c=

asinC

sinA

=

2

3

sinC，
则l=a+b+c=1+

2

3

（sinB+sinC），
由A=

π

3

，B+C=

2π

3

，
则sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

），
即有l=1+2sin（B+

π

6

），
由于0＜B＜

2π

3

，则

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，
即有2＜l≤3．
则有△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．