Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an+1=

1

2

an，a₁=2．由此能求出a_n=2×（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知S_n=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

=4[1-（

1

2

）ⁿ]，

Sk+1-2

Sk-2

＞2等价于

4-21-k-2

4-22-k-2

＞2，由此能推导出不存在这样的k，使不等式

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立．

解答： 解：（1）由题意，a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，
两式相减得an+1=

1

2

an，
当n=1时，a₁+S₁=2a₁=4，
得a₁=2．
∴数列{a_n}是以首项a₁=2，公比为q=

1

2

的等比数列．
∴a_n=2×（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知S_n=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

=4[1-（

1

2

）ⁿ]，
∴

Sk+1-2

Sk-2

＞2等价于

4-21-k-2

4-22-k-2

＞2，
∴

3-21-k-2

3-21-k-2

＜0，
∴

2

3

＜21-k＜1，
∴1＜2^k-1＜

3

2

，
∵k是正整数，
∴2k-1正整数，这与1＜2k-1＜

3

2

相矛盾，
故不存在这样的k，使不等式成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数k的值是否成立的判断与求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．