Question

13．设$a=\int_0^π{（cosx-sinx）dx}$，则二项式${（{x^2}+\frac{a}{x}）^6}$展开式中x³项的系数为（　　）

• A． -2
• B． 20
• C． -160
• D． 160

Answer 1

分析 根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出k的值，问题得以解决．

解答 解：∵$a=\int_0^π{（cosx-sinx）dx}$|$\left.\begin{array}{l}{π}\\{0}\end{array}\right.$=-2，
∴${（{x^2}+\frac{a}{x}）^6}$=（x²-$\frac{2}{x}$）⁶
则${（{x^2}+\frac{a}{x}）^5}$展开式的通项公式为T_n+1=C${\;}_{6}^{k}$•（x²）^6-k•（$\frac{2}{x}$）^k=（-2）^k•C${\;}_{6}^{k}$•x^12-3k，
令12-3k=3，
解得，k=3，
故二项式${（{x^2}+\frac{a}{x}）^6}$展开式中x³项的系数为-8×20=-160．
故选：C．

点评 本题主要考查了微积分基本定理和二项式的通项公式，培养了学生的计算能力．