Question

18．设A₁，A₂分别为双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率k${\;}_{M{A}_{1}}$•k${\;}_{M{A}_{2}}$，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
• B． （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）
• D． （1，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 由题意可知：求得MA₁和MA₂斜率，${k}_{M{A}_{1}}$•${k}_{M{A}_{2}}$=$\frac{{y}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，代入双曲线，求得b和a的关系，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率的取值范围．

解答 解：设M（x，y），A₁（0，a），A₂（0，-a），
则${k}_{M{A}_{1}}$=$\frac{y-a}{x}$，${k}_{M{A}_{2}}$=$\frac{y+a}{x}$，
∴${k}_{M{A}_{1}}$•${k}_{M{A}_{2}}$=$\frac{{y}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，（*）．
又M（x，y）在双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，
∴y²=a²（$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+1），代入（*）式得，$\frac{{a}^{2}{x}^{2}}{{b}^{2}{x}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$＞2，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1＜$\frac{1}{2}$，
解得：1＜e＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质，考查斜率公式及双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．