Question

4．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是凸函数的是①③④．
①f（x）=sinx+cosx②f（x）=-xe^-x③f（x）=lnx-2x④f（x）=-x³+2x-1．

Answer 1

分析 根据定义，分别求导，判断即可．

解答 解：对于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f″（x）＜0恒成立；
对于②，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，$\frac{π}{2}$）时f″（x）＞0恒成立，
对于③，f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f″（x）＜0恒成立；
对于④，f″（x）=-6x，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f″（x）＜0恒成立；
故是凸函数的是①③④
故答案为：①③④

点评 本题主要考查函数的求导公式．属基础题．