Question

14．如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为DD'的中点．
（Ⅰ）求证BD'∥平面AEC；
（Ⅱ）如图，设F为上底面A'B'C'D'一点，过点F在上底面画一条直线与CF垂直，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）连接BD交AC于O，连接EO，则由中位线定理得OE∥BD′，故BD'∥平面AEC；
（II）连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线；通过证明FM⊥平面CC′F即可得出结论．

解答 （I）证明：连接BD交AC于O，连接EO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，又E是DD′的中点，
∴OE∥BD′，
又OE?平面AEC，BD′?平面AEC，
∴BD'∥平面AEC．
（II）解：连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线．
证明：∵CC′⊥平面A′B′C′D′，FM?平面A′B′C′D′，
∴CC′⊥FM，又FM⊥C′F，C′F∩CC′=C′，
∴FM⊥平面CC′F，又CF?平面CC′F，
∴FM⊥CF．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，属于中档题．