Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），记函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求f（x）的表达式，以及f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a+b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{6}$，f（C）=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用三角函数的性质，即可求出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）先求出C，再求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（3分）
当2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，f（x）_max=2，
对应x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．…（6分）
（Ⅱ）由f（C）=2，得2sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$，…（8分）
又∵a+b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{6}$，由余弦定理得c²=a²+b²-ab，
∴12-3ab=6，即ab=2，…（10分）
由面积公式得△ABC面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查余弦定理，考查向量知识的运用，属于中档题．